เอกนาม - พหุนาม-การแยกตัวประกอบของพหุนาม

เอกนาม

     เอกนาม   คือ   จำนวนที่เขียนในรูปการคูณของค่าคงที่กับตัวแปรตั้งแต่ 1 ตัวขึ้นไป    โดยที่เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัว  เป็น ศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก

	จำนวนที่เป็นเอกนาม เช่น 5X3Y , 3-2AB , ab2c3 , 7
	จำนวนที่ไม่ใช่เอกนาม เช่น 4X-3Y , n + 6 , 2a/3b

ดังนั้น เอกนามมี 2 ส่วน คือ

1.     ค่าคงที่ เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของเอกนาม 

2.    ส่วนที่อยู่ในรูปการคูณของตัวแปร    

โดยเลขชี้กำลังของตัวแปร แต่ละตัวเป็นศูนย์ หรือจำนวนเต็มบวก

เรียกผลบวกของเลขชี้กำลัง   ของตัวแปรทั้งหมดในเอกนามว่า   ดีกรีของเอกนาม

 เช่น  7⁸X²Y³Z ดีกรี   คือ 6 ( เลขชี้กำลังของ X คือ 2 , Y คือ 3 , Z คือ 1 ) และสัมประสิทธิ์คือ 7⁸

        แต่เอกนาม 0 จะบอกได้ไม่แน่นอน เนื่องจาก 0 = 0Xⁿ โดยที่ X ไม่เท่ากับศูนย์ และ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ ดังนั้น ไม่กล่าวถึงดีกรีของ 0

 การบวก-ลบ เอกนาม

    

เอกนามที่คล้ายกันสามารถนำมาบวกลบกันได้โดยสมบัติแจกแจง ดังนี้

	3XY4 + 7XY4  =  (3+7)XY4      ผลบวกของเอกนามคล้ายเท่ากับ (ผลบวกของสัมประสิทธิ์)ตัวแปรชุดเดิม
	3XY4 - 7XY4  =  (3-7)XY4     ผลลบของเอกนามคล้ายเท่ากับ    (ผลลบของสัมประสิทธิ์)  ตัวแปรชุดเดิม

กรณีที่เอกนามไม่คล้ายกันให้เขียนผลบวกในรูปเดิม

เช่น 7X⁴Y + 7XY⁴   ผลลัพธ์คือ    7X⁴Y + 7XY⁴

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

http://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=83868

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง ในรูปผลต่างกำลังสอง A2 - B2 = (A – B) (A + B)

http://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=83866

การแยกตัวประกอบ

ข้อมูลจากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

 พหุนาม  x² + cx + d เมื่อ a + b = c และab = d 

สามารถแยกตัวประกอบให้เป็น (x + a)(x + b)

การแยกตัวประกอบ (อังกฤษ: factorization) ในทางคณิตศาสตร์     หมายถึง      การแบ่งย่อยวัตถุทางคณิตศาสตร์ (เช่น จำนวน พหุนาม หรือเมทริกซ์) 

ให้อยู่ในรูปผลคูณของวัตถุอื่น ซึ่งเมื่อคูณตัวประกอบเหล่านั้นเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์ดังเดิม

 ตัวอย่างเช่น จำนวน 15 สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นจำนวนเฉพาะได้เป็น 3 × 5 

และพหุนาม  สามารถแยกได้เป็น    เป็นต้น

จุดมุ่งหมายของการแยกตัวประกอบ  คือ  การลดทอนวัตถุให้เล็กลง 

อาทิ จากจำนวน  ไปเป็น  จำนวนเฉพาะ 

จากพหุนาม  ไปเป็น  พหุนามลดทอนไม่ได้ (irreducible polynomial) 

การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต 

ส่วนการแยกตัวประกอบพหุนามเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต 

สำหรับพหุนาม สิ่งที่ตรงข้ามกับการแยกตัวประกอบ  คือ  การกระจายพหุนาม (polynomial expansion) ซึ่งเป็นการคูณตัวประกอบทุกตัวเข้าด้วยกันเป็นพหุนามใหม่

การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง

พหุนามกำลังสองใดๆ บนจำนวนเชิงซ้อน (คือพหุนามที่อยู่ในรูป  เมื่อ ) สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นนิพจน์ที่อยู่ในรูป  เมื่อ  และ  คือรากของพหุนาม ซึ่งคำนวณได้จากสูตรกำลังสองดังนี้

พหุนามที่สามารถแยกได้บนจำนวนเต็ม

บางครั้งพหุนามกำลังสองสามารถแยกออกได้เป็นทวินาม (binomial) สองตัวด้วยสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเต็ม โดยไม่จำเป็นต้องใช้สูตรกำลังสองในการคำนวณ ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการหารากของสมการกำลังสอง โดยที่พหุนาม

สามารถแยกได้เป็น

เมื่อ

จากนั้นจึงให้ทวินามแต่ละตัวเท่ากับศูนย์ แล้วคำนวณหาค่าของ x เพื่อหารากของสมการกำลังสอง

ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์

แผนภาพที่พิสูจน์ว่า
(a+b) ² = a²+2ab+b²

พหุนามกำลังสองบางชนิดสามารถแยกตัวประกอบออกได้เป็นทวินามที่เหมือนกัน พหุนามนั้นเรียกว่า ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์ หรือเพียงแค่ กำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งพหุนามดังกล่าวสามารถแยกได้ดังนี้

ผลบวกและผลต่างกำลังสอง

ดูบทความหลักที่: ผลต่างกำลังสอง

การแยกตัวประกอบทางพีชคณิตอีกอย่างหนึ่งเรียกว่า ผลต่างกำลังสอง มีสูตรดังนี้

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้งสองพจน์ ไม่ว่าจำนวนเหล่านั้นจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ ถ้าพจน์ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทนด้วยสูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยกตัวประกอบจะต้องมีจำนวนจินตภาพเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งแสดงได้ดังนี้

ตัวอย่างเช่น  สามารถแยกได้เป็น  เป็นต้น

การแยกตัวประกอบพหุนามอื่น ๆ[แก้]

ผลบวกและผลต่างกำลังสาม[แก้]

สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบของผลบวกและผลต่างกำลังสามเป็นดังนี้ ผลบวกสามารถแยกตัวประกอบเป็น

และผลต่างสามารถแยกตัวประกอบเป็น

เช่น x³ − 10³ (or x³ − 1000) สามารถแยกตัวประกอบเป็น (x − 10)(x² + 10x + 100)

ศึกษาเพิ่มเติม..

http://www.tewfree.com/%E0%B9%81%E0%B8%A2%E0%B8%81%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B8%9E%E0%B8%AB%E0%B8%B8%E0%B8%99%E0%B8%B2%E0%B8%A1/

http://www.bs.ac.th/studentweb/math/singularnoun.html

เรื่อง การบวก ลบ เอกนาม และพหุนามและคูณหาร ค่าคงที่กับเอกนามและพหุนาม

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง   1.  สามารถบวกลบเอกนามได้                                         2.  สามารถคูณ  หาร  เอกนามได้                                         3.  สามารถบวกลบพหุนามได้

เอกนามคือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปร  ตั้งแต่หนึ่งตัว ขึ้นไปโดยที่เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์   หรือจำนวนเต็มบวก               นิพจน์ต่อไปนี้ทุกพจน์เป็นเอกนาม                 3x , -4x                   , -3x2y            -5,8                 เอกนามประกอบด้วย 2 ส่วน   คือส่วนที่เป็นค่าคงตัวและส่วนที่เป็นตัวแปร    ซึ่งอยู่ในรูป การคูณค่าคงตัว เรียกส่วนที่เป็นค่าคงตัวว่า   สัมประสิทธิ์ของเอกนาม   เรียกผลบวกของกำลัง ของตัวแปรว่าดีกรี ของเอกนาม                 เอกนามที่คล้ายกัน       เอกนาม 2 เอกนามจะคล้ายกันก็ต่อเมื่อ 1.       เอกนามทั้งสองมีตัวแปรชนิดเดียวกัน 2.       เลขชี้กำลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน เช่น   8Xy   คล้ายกับ   –5xy                       6x2y คล้ายกับ x2y   การบวก และการลบเอกนาม เอกนามจะบวกลบกันได้ก็ต่อเมื่อเป็นเอกนามคล้าย การบวกเอกนาม ผลบวกของเอกนามที่คล้ายกันคือเอาสัมประสิทธิ์บวกกัน ส่วนที่เป็นตัวแปรคงเดิม                        เช่น  3x + 6X                =             9X                                    +8x + 3X           =             11x                                    3x2y + 5x2y        =             8x2y การลบเอกนามทำเหมือนการบวก                                    -6x + 8x             =             2X                                    -3x – 5X             =             -8x

พหุนามคือ   นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนามหรือรูปผลบวกหรือผลลบของเอกนาม   ตั้งแต่ 2 เอกนามขึ้นไปเช่น  5x3 + 4x2 – 7X + 1         เป็นพหุนาม     ที่มี 4 พจน์               3x2  +  1                          เป็นพหุนาม     ที่มี 2  พจน์           การบวกและการลบพหุนามทำได้โดยตั้งบวกกันธรรมดา  เรียงลำดับพจน์ที่มีเลขชี้กำลังมาก   ไปหาพจน์ทีมีเลขชี้กำลังน้อย  แล้วจึงบวกลบที่มีตัวแปรเหมือนกัน  และกำลังของตัวแปรเท่ากัน  เช่น 1.  (5x2 + 3x) + ( 6x2  - 4x)                   =  (5x2 + 6x2) + ( 3x + (- 4x)                                                               =  11 x2  + (-x)                                                               =  11 x2  - x 2.  (3x2  - 1) -  (2 x2 + 3x)                      =  (3 x2 – 2x2) - 1 - (3x)                                                               =  x2 – 3x  - 1

การคูณเอกนามหรือพหุนามด้วยค่าคงที่    การคูณหรือหารเอกนามด้วยค่าคงที่    ให้นำค่าคงที่คูณกันได้เลย  ส่วนตัวแปรเหมือนเดิม          - 3  ( 4x)                                       =  -12 x           8 (-6x)                                         =  -48 x           -2  ( -3 x)                                    =  + 6x การคูณค่าคงที่กับพหุนาม  ให้นำค่าคงที่คูณพหุนามทุกพจน์  เช่น          3 (4x + 8)                                     =  12x  + 24          -4  (x – 5)                                     = - 4x +20

ตัวประกอบของพหุนามมีอยู่ทั้งหมด 8 รูปแบบด้วยกัน ซึ่งแต่ละรูปแบบก็จะมีวิธีในการแยกตัวประกอบที่คล้ายกันบ้าง ไม่คล้ายกันบ้าง แล้วแต่วิธี ส่วนรูปแบบต่างๆจะมีลักษณะดังนี้

การแยกตัวประกอบของพหุนามทั้ง 8 รูปแบบ

รูปแบบที่1: สมบัติการแจกแจง

หรือการดึงตัวร่วมออกมา เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการแยกตัวประกอบของพหุนาม 

ab + ac = a(b+c)

ตัวอย่าง: 3x² + 6x = 3x(x+2)

รูปแบบที่2: พหุนามสองวงเล็บ

คือการแยกตัวประกอบออกมาเป็นสองวงเล็บที่คูณกันอยู่ พหุนามแบบสองวงเล็บนี้จะมีตั้งแต่ง่ายไปจนถึงยาก

x² + 9x + 14 =0

ตัวอย่าง:  (x+2) ( x+7) =0

รูปแบบที่3: พหุนามผลต่างกำลังสอง

รูปแบบนี้จะดูได้ง่ายมาก และสามารถใช้สูตรเพียงสูตรเดียวในการแยกตัวประกอบออกมาได้เลย

หน้า² – หลัง² = (หน้า-หลัง) (หน้า+หลัง)

ตัวอย่าง: x² – 4² = 0

รูปแบบที่4: พหุนามกำลังสองสมบูรณ์

มีอยู่สองรูปแบบย่อยที่ต่างกันเพียงเครื่องหมาย +- ที่เดียวเท่านั้น ใช้สูตรในการแยกตัวประกอบ

น² + 2นล + ล² = (น+ล) (น+ล) = (น+ล)²

น² – 2นล + ล² = (น-ล) (น-ล) = (น-ล)²

รูปแบบที่5: พหุนาม แบบเพิ่มเข้า ลบออก

ใช้ในการแก้สมการพหุนามที่ไม่สามารถแก้ได้ในตอนแรก เราจะใช้หลักการใส่ตัวแปรเพิ่มเข้าไป หรือลบตัวแปรออกมา ทำให้สมการพหุนามใหม่มีรูปแบบที่ตรงกับรูปแบบอื่นและสามารถแยกตัวประกอบได้

รูปแบบที่6: พหุนาม ผลบวกและผลต่างกำลังสาม

มีอยู่สองรูปแบบที่ต่างกันที่เครื่องหมาย +- แต่เมื่อแยกตัวประกอบออกมาแล้ว สมการจะยาวหน่อยนึง

น³ + ล³ = (น + ล) (น² – นล + ล²)

น³ – ล³ = (น – ล) (น² + นล + ล²)

รูปแบบที่7: พหุนามแบบจับคู่

ใช้ความรู้จากรูปแบบที่ 1 มาช่วย โดยเริ่มจากการจับคู่ให้พหุนามก่อน บางครั้งต้องเรียงตำแหน่งใหม่ด้วย

ac + bc + ad + bd = (ac + bc) + (ad + bd) = c(a+b) + d(a+b) = (a+b) (c+d)

รูปแบบที่8: การหารสังเคราะห์

รูปแบบสุดท้ายที่สามารถแก้สมการพหุนามได้แทบจะทุกรูปแบบ แต่ว่าต้องแลกกับวิธีการทำที่ค่อยข้างยากและยาวเอาเรื่อง ส่วนใหญ่หลายคนทำผิดเพราะว่าบวกลบเลขผิดในขั้นตอนตรงกลาง การหารสังเคราะห์นี้สามารถใช้แก้สมการพหุนามดีกรีสูงๆตั้งแต่ x⁴ x³ ได้หมดเลย

รูปแบบที่1: สมบัติการแจกแจง

   

รูปแบบที่2: พหุนามสองวงเล็บ

รูปแบบที่3: พหุนามผลต่างกำลังสอง

รูปแบบที่4: พหุนามกำลังสองสมบูรณ์

http://www.slideshare.net/AonNarinchoti/ss-37115461


http://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=83868